Portance et traînée

Un modèle pour l'expression de Cz et Cx

Très nombreux sont les documents où sont rappelées les expressions de la portance et de la traînée, les deux composantes de la force F aérodynamique que l'air exerce sur l'aile de l'avion:

$F_z = {1 \over 2}C_z{\rho}SV^2$ et $F_x={1 \over 2} C_x{\rho}SV^2$

où Cz et Cx sont des coefficients déterminés de manière expérimentale.

Nous proposons ici une explication simple de leur valeur basée sur la troisième loi de Newton (lois des actions réciproques) en considérant l'aile plane et faisant un angle d'incidence ${\alpha}$ avec la direction du vent relatif.

Le coefficient de portance est $Cz = 4 sin^2({\alpha}) cos({\alpha})$ .

Le coefficient de traînée est $Cx = 4 sin^3({\alpha})$ .

Explications:

On s'intéresse en fait à la force que subit l'air de la part de l'aile de l'avion.

L'étude est menée dans le référentiel où l'avion se tient immobile. C'est un référentiel galiléen si l'avion vole à vitesse constante sur une trajectoire rectiligne. La vitesse de l'air par rapport à l'avion est notée V_air et S_aile est la surface de l'aile qui présente un angle ${\alpha}$ par rapport à la vitesse de l'air. On note ${\rho}$ la masse volumique de l'air.

Pour la masse dm d'air dévié par l'aile au cours d'un intervalle de temps dt, la relation fondamentale de la dynamique s'écrit : $dm {dV \over dt} = F$ .

La masse d'air qui atteint l'aile au cours de l'intervalle de temps dt est contenue dans la zone en couleur bleu sur le schéma ci-dessus dont le volume est $V_{\text{air}}dt S sin({\alpha})$ et la masse est $dm = {\rho} V_{\text{air}}S sin({\alpha}) dt$ .

La variation de vitesse de l'air, c'est-à-dire la différence entre la vitesse initiale et la vitesse finale est $dV = 2V_{\text{air}} sin({\alpha})$ .

La relation fondamentale de la dynamique s'écrit alors : ${\rho} V_{\text{air}}S sin({\alpha}) dt {2V_{\text{air}} sin({\alpha}) \over dt} =F$ où F est la norme de la force subie par l'air.